抛物样条曲线的原理说明及画抛物曲线的一个类

朱金灿

假如我们采用矢量表达式来表示参数化的二次曲线，那么可以把抛物线的表达式写成如下的一般形式：

P(t)=A₁+ A₂t+ A₃t² (0=<t<=1)

该抛物线过P₁, P₂, P₃三个点，并且：

1. 抛物线以P₁点为始点。当参变量t=0时，曲线过P₁点；

2. 抛物线以P₃点为终点。当参变量t=0时，曲线过P₃点；

3. 当参变量t=0.5时，曲线过P₂点,且切矢量等于P₃—P₁。

t=0: P(0)= A₁= P₁

t=1: P(1)= A₁ + A₂+ A₃=P₃

t=0.5:P(0.5)= A₁ + 0.5A₂+0.25 A₃=P₂

通过解联立方程，得到三个参数A₁ 、 A₂、 A₃分别为：

A₁ = P₁

A₂=4 P₂—P₃—3P₁

A₃=2P₁+2P₃—4P₂

把求出的这三个系数的值，代入抛物线的表达式P(t)=A₁+ A₂t+ A₃t²

得：P(t)=（2t—3t+1）P₁ +(4t—4t²)P₂+(4t²—t)P₃ (0=<t<=1)

设有一离散型值点列P_i（i=1,2,……,n）,每经过相邻三点作一段抛物线，由于有n个型值点，所以可以做n-2条抛物线段。

在这n—2条抛物线段中，第i条抛物线段为经过P_i, P_i+1, P_i+2三点，所以它的表达式应为：S_i(t_i)=（2t²_i—3t_i+1）P_i +(4 t_i—4 t²_i) P_i+1 +(2t²_i—t_i) P_i+2 (0=< t_i <=1)

同理，第i+1条抛物线段为经过P_i+1, P_i+2, P_i+3三点，所以它的表达式应为：S_i+1(t_i+1)=（2t²_i+1—3t_i+1+1）P_i+1 +(4 t_i+1—4 t²_i+1) P_i+2 +(2t²_i+1—t_i+1) P_i+3 (0=< t_i+1 <=1)

一般来说，每两段曲线之间的搭接区间，两条抛物线是不可能重合的。如下图所示：

显然，对于拟合曲线来说，整个型值点必须只能用一条光滑的曲线连接起来。为了做到这一点，必须找一种方法把S_i和S_i+1 这样的曲线段的共同区间结合起来。这种方法就是加权合成方法。

我们设共同区间的函数是P_i+1(t)=f (T ) S_i(t_i)+g ( T) S_i+1(t_i+1). 其中f (T ) 和 g ( T) 是权函数。在抛物样条曲线中我们取简单的一次函数为权函数，且具有互补性，设

f (T ) =1—T

g ( T) =T

这样P_i+1(t)= (1—T ) S_i(t_i)+ T S_i+1(t_i+1).因为 函数中有T、t_i和t_i+1三个参数，因此接下来我们的工作是统一参数。我们可以三个参变量统一形式为：

T=2t

t_i=0.5+t

t_i+1=t

这样P_i+1(t)= （—2t³+4t²—t）P_i +(12t³—410t²+1) P_i+1 +(—12t³+8t²+t) P_i+2 +(4t³—2t²) P_i+3 (0=< t_i <=0.5)

从几何意义上说，函数P_i+1(t)表示的上图的点P_i+1,到P_i+2 之间的线段。但是我们应该看到这种方法从n个点中只能得到n—3段曲线。但是n个型值点应有n—1段曲线。一个直接的想法是添加两个辅助点。那么如何添加呢？

方法一：两个辅助点为P₀和P_n+1, P₀=P₁，P_n+1= P_n ,这样画出的曲线为一条不闭合的自由曲线。

方法二：添加三个辅助点，P₀、P_n+1和P_n+2，然后P₀=P_n，P_n+1= P_1, ，P_n+2= P₂,这样画出的曲线为一条闭合的曲线。

下面介绍根据上面原理而设计的一个画抛物曲线的一个类：

class CParspl : public CObject

{

DECLARE_SERIAL(CParspl)

public:

CParspl(int nLineStyle,int nLineWidth, COLORREF crLineColor);

virtual ~CParspl();

void SetPoint(const CPoint &point); // 添加坐标点

void DrawFreeLine(CDC *pDC);// 画自由端抛物曲线

void DrawCloseLine(CDC *pDC); // 画封闭端抛物曲线

void Serialize(CArchive & ar);

protected:

CParspl();

/*public attributes*/

public:

int m_bIsFreeLine;

/*private attibutes*/

private:

CArray<CPoint,CPoint> ParsplPoint; // 定义插值点数组

COLORREF m_crLineColor; // 定义线色

int m_nLineStyle; // 定义线型

int m_nLineWidth; //定义线宽

};

const int Clip=10;

CParspl::CParspl() // 默认的构造函数

{

}

CParspl::~CParspl()

{

}

CParspl::CParspl(int nLineStyle,int nLineWidth, COLORREF crLineColor)

{

m_nLineStyle = nLineStyle;

m_nLineWidth = nLineWidth;

m_crLineColor = crLineColor;

ParsplPoint.Add(CPoint(0,0)); //初始化第一个点

m_bIsFreeLine = 1;

}

void CParspl::SetPoint(const CPoint &point)

{

ParsplPoint.Add(point);

}

void CParspl::DrawFreeLine(CDC *pDC)

{

if(ParsplPoint.GetSize() < 4) return;

CPen LinePen(m_nLineStyle,m_nLineWidth,m_crLineColor);

int i=0,j=0;

int n=0;

n=ParsplPoint.GetSize();

double t1,t2,t3,t,a,b,c,d,x,y;

ParsplPoint[0].x=ParsplPoint[1].x;

ParsplPoint[0].y=ParsplPoint[1].y;

CPoint pt=ParsplPoint.GetAt(n-1);

ParsplPoint.Add(pt);

t=<chmetcnv tcsc="0" numbertype="1" negative="False" hasspace="False" sourcevalue=".5" unitname="F" w:st="on">0.5f</chmetcnv>/Clip;

CPen *pLinePen=pDC->SelectObject(&LinePen);

pDC->MoveTo(ParsplPoint[1].x,ParsplPoint[1].y);

for (i=0;i<n-2;i++)

{

for(j=1;j<Clip;j++)

{

t1=j*t;

t2=t1*t1;

t3=t2*t1;

a=4.0*t2-t1-4.0*t3;

b=1.0-10.0*t2+12.0*t3;

c=t1+8.0*t2-12.0*t3;

d=4.0*t3-2.0*t2;

x=a*ParsplPoint[i].x+b*ParsplPoint[i+1].x+c*ParsplPoint[i+2].x+d*ParsplPoint[i+3].x;

y=a*ParsplPoint[i].y+b*ParsplPoint[i+1].y+c*ParsplPoint[i+2].y+d*ParsplPoint[i+3].y;

pDC->LineTo(int(x),int(y));

}

pDC->LineTo(ParsplPoint[i+2].x,ParsplPoint[i+2].y);

}

for(i=0;i<n;i++)

{

pt=ParsplPoint.GetAt(i);

pDC->Ellipse(pt.x-2,pt.y-2,pt.x+2,pt.y+2);

}

/* 将旧画笔选回设备环境*/

pDC->SelectObject(pLinePen);

/*删除辅助点*/ ParsplPoint.RemoveAt(ParsplPoint.GetUpperBound());

}

void CParspl::DrawCloseLine(CDC *pDC)

{

if(ParsplPoint.GetSize() < 4) return;

CPen LinePen(m_nLineStyle,m_nLineWidth,m_crLineColor);

int i=0,j=0;

int n=0;

n=ParsplPoint.GetSize();

double t1,t2,t3,t,a,b,c,d,x,y;

ParsplPoint[0].x=ParsplPoint[n-1].x;

ParsplPoint[0].y=ParsplPoint[n-1].y;

CPoint pt=ParsplPoint.GetAt(1);

ParsplPoint.Add(pt);

pt=ParsplPoint.GetAt(2);

ParsplPoint.Add(pt);

t=<chmetcnv tcsc="0" numbertype="1" negative="False" hasspace="False" sourcevalue=".5" unitname="F" w:st="on">0.5f</chmetcnv>/Clip;

CPen *pLinePen=pDC->SelectObject(&LinePen);

pDC->MoveTo(ParsplPoint[1].x,ParsplPoint[1].y);

for (i=0;i<n-1;i++)

{

for(j=1;j<Clip;j++)

{

t1=j*t;

t2=t1*t1;

t3=t2*t1;

a=4.0*t2-t1-4.0*t3;

b=1.0-10.0*t2+12.0*t3;

c=t1+8.0*t2-12.0*t3;

d=4.0*t3-2.0*t2;

x=a*ParsplPoint[i].x+b*ParsplPoint[i+1].x+c*ParsplPoint[i+2].x+d*ParsplPoint[i+3].x;

y=a*ParsplPoint[i].y+b*ParsplPoint[i+1].y+c*ParsplPoint[i+2].y+d*ParsplPoint[i+3].y;

pDC->LineTo(int(x),int(y));

}

pDC->LineTo(ParsplPoint[i+2].x,ParsplPoint[i+2].y);

}

for(i=0;i<n;i++)

{

pt=ParsplPoint.GetAt(i);

pDC->Ellipse(pt.x-2,pt.y-2,pt.x+2,pt.y+2);

}

/*将旧画笔选回设备环境*/

pDC->SelectObject(pLinePen);

/*删除最后两个辅助点*/

ParsplPoint.RemoveAt(ParsplPoint.GetUpperBound());

ParsplPoint.RemoveAt(ParsplPoint.GetUpperBound());

}

程序效果图：

自由端曲线：

封闭端曲线：